过椭圆的左焦点F作斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，使得AB的中点M在直线x+2y=0上．（1）求k的值；（2）设C（-2，0），求tan∠ACB．

网友回答

解：（1）由椭圆方程，a=，b=1，c=1，则点F为（-1，0）．
直线AB方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，得
（2k2+1）x2+4k2x+2k2-2=0．①
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则
x0==-，y0=k（x0+1）=，
由点M在直线x+2y=0上，知-2k2+2k=0，
∵k≠0，
∴k=1．…（6分）
（2）将k=1代入①式，得3x2+4x=0，
不妨设x1＞x2，则x1=0，x2=-，…（8分）
记α=∠ACF，β=∠BCF，则
tanα===，tanβ=-=-=，
∴α=β，
∴tan∠ACB=tan2α==．…（12分）
解析分析：（1）由椭圆方程，a，b，c．直线AB方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式即可求得k值，从而解决问题．（2）将k=1代入（1）中得到关于x的一元二次方程，求出方程的两个根，再根据夹角公式求出tan∠ACB．

点评：本小题主要考查椭圆的简单性质、夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想．属于基础题．