设n为正整数,通过归纳你能猜想出n^n+1和(n+1)^n的大小关系吗?

网友回答

n=1时,n^(n+1)=1n=2时,n^(n+1)=8n=3时,n^(n+1)=81>(n+1)^n=64
n=4时,n^(n+1)=1024>(n+1)^n=625
.所以有当n当n>=3时,n^(n+1)>(n+1)^n
其实这个结论是可以证明的,证明如下
设f(x)=lnx/x(x>=1)对函数求导得到f'(x)=(1-lnx)/x^2
所以有当1=0函数是单调增的.
当x>e时,f'(x)所以有当n>=3时,lnn/n>ln(n+1)/(n+1)
故有(n+1)lnn>nln(n+1)
即lnn^(n+1)>ln(n+1)^n,而函数y=lnx是单调增的,所以有
当n>=3时n^(n+1)>(n+1)^n
对于n=1,n=2时的情况,可以直接列举,进行比较就可以得到的.
结论如上.