已知函数f（x）=是奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数在R上的单调性并用函数单调性的定义证明；（3）对任意的实数x，不等式f（x）＞2m-1恒成立，求实数m的

网友回答

（1）由f（x）=是奇函数，有f（-x）=-f（x），
∴），
∴2a=-，
∴a=-．
（2）f（x）在R上是增函数．
f（x）=
设x1、x2∈R且x1＜x2，
f（x2）-f（x1）=-
=，
∵x1＜x2，∴＞，
∴＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在R上是增函数．
（3）对任意的实数x，不等式f（x）＞2m-1恒成立，
则只要2m-1＜f（x）min，
∵2x+1＞1∴0＜＜1，
∴-1＜-＜0，
-＜-＜，即-＜f（x）＜，
∴2m-1≤-，
∴m≤．即m的取值范围为：（-∞，]．
解析分析：（1）由奇函数定义知，有f（-x）=-f（x）恒成立，由此可求a值；（2）设x1、x2∈R且x1＜x2，通过作差判断f（x2）与f（x1）的大小，利用函数单调性的定义可作出判断；（3）对任意的实数x，不等式f（x）＞2m-1恒成立，等价于2m-1＜f（x）min，根据基本函数的值域可求出f（x）min．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性以及不等式恒成立问题，对于函数奇偶性、单调性常用定义解决，而恒成立则往往转化为函数最值问题．