已知曲线f（x）=x（a+b?lnx）过点P（1，3），且在点P处的切线恰好与直线2x+3y=0垂直．求（Ⅰ）?常数a，b的值；（Ⅱ）f（x）的单调区间．

网友回答

解　（Ⅰ）据题意f（1）=3，所以a=3（1）
，
又曲线在点P处的切线的斜率为，
∴f'（1）=3，即（2）
由（1）（2）解得．
（Ⅱ）．
∴当x∈（0，e）时，f'（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0．
∴f（x）的单调区间为（0，e），（e，+∞），在区间（0，e）上是增函数，在区间（e，+∞）上是减函数．
解析分析：（Ⅰ）对函数f（x）=x（a+b?lnx）进行求导，根据P处切线斜率是，可得出即；然后根据曲线f（x）=x（a+b?lnx）过点P（1，3），求出a、b的值；（Ⅱ）首先对函数f（x）进行求导，然后判断导函数的正负，即可求出f（x）的单调区间．

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间，此题难度不大．