已知函数f（x）=（2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）2-x（a＞0）．
（1）若函数f（x）在x=0处取极值，求a的值；
（2）如图，设直线x=-，y=-x将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数y=f（x）的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a的取值范围；
（3）比较32×43×54×…×20122011与23×34×45×…×20112012的大小，并说明理由．
网友回答
解：（1）∵f（x）=（2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）2-x，
∴f′（x）=2ln（2x+1）-4a（2x+1）+1，
∵f（x）在x=0处取极值，∴f′（0）=-4a+1=0，∴a=，经检验a=符合题意，故a=．
（2）∵函数的定义域为（-，+∞），且当x=0时，f（0）=-a＜0，又直线y=-x恰好过原点，所以函数y=f（x）的图象应位于区域Ⅲ内，于是f（x）＜-x，即 （2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）2-x＜-x，∵2x+1＞0，∴a＞，令h（x）=，∴h′（x）=，令h′（x）=0，得x=，∵x＞-，∴x∈（-，）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．∴mmax（x）=m（）=，∴a的取值范围是：a＞．
（3）由（2）知，函数m（x）=在x∈（，+∞）时单调递减，∴函数p（x）=在x∈（e，+∞）时，单调递减，∴＜，∴xln（x+1）＜（x+1）lnx，∴ln（x+1）x＜lnx（x+1），即（x+1）x＜x（x+1），∴令x=3，4，…，2011，则43＜34，54＜45，…，20122011＜20112012．
又32×43＜23×34，
∴32×43×54×…×20122011＜23×34×45×…×20112012．
解析分析：（1）由f（x）=（2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）2-x得f′（x）=2ln（2x+1）-4a（2x+1）+1，由f（x）在x=0处取极值，能求出a．（2）由函数的定义域为（-，+∞），且当x=0时，f（0）=-a＜0，又直线y=-x恰好过原点，所以函数y=f（x）的图象应位于区域Ⅲ内，于是f（x）＜-x，由此能求出a的取值范围．（3）由（2）知，函数m（x）=在x∈（，+∞）时单调递减，函数p（x）=在x∈（e，+∞）时，单调递减，故 （x+1）x＜x（x+1），由此能比较32×43×54×…×20122011与23×34×45×…×20112012的大小．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题中的隐含条件，合理地进行等价转化．