已知Sn是正项数列{an}的前n项和，且是与（an+1）2的等比中项．（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）若对一切正整数

网友回答

解：（1）当 n≥2时，，
两式相减，整理得（an+an-1）（an-an-1-2）=0，由于数列{an}是正项数列，∴an-an-1=2，又a1=1，所以数列{an}是首项a1=1，d=2的等差数列，an=2n-1；
（2），
相减化简得
（3）∵
当n=1，b2＞b1，当n≥2，bn+1＜bn，故当n=2时，b2取到最大值．
又对一切正整数n恒成立，即
解得m≤-1或m≥5
解析分析：（1）由是与（an+1）2的等比中项，可得，两式相减可求．（2），故用裂项求和法求解；（3）先求数列{bn}的最大值，进而转化为解不等式．从而求出参数范围．

点评：本题主要考查等差数列的定义，裂项求和法及借助于最值解决恒成立问题，属于中档题．