已知函数f（x）满足：f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2010）=A.B.C.D.1

网友回答

A
解析分析：分析：由于题目问的是f（2010），项数较大，故马上判断函数势必是周期函数，所以集中精力找周期即可；周期的寻找方法可以是不完全归纳推理出，也可以是演绎推理得出．

解答：解法一：∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）取x=1，y=0得f（0）=根据已知知f（1）=取x=1，y=1得f（2）=-取x=2，y=1得f（3）=-取x=2，y=2得f（4）=-取x=3，y=2得f（5）=- ）取x=3，y=3得f（6）= …猜想得周期为6∴f（2010）=f（0）=解法二：取x=1，y=0得f（0）=取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n-1），同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）联立得f（n+2）=-f（n-1）所以f（n）=-f（n+3）=f（n+6）所以函数是周期函数，周期T=6，故f（2010）=f（0）=故选A

点评：

点评：准确找出周期是此类问题（项数很大）的关键，分别可以用归纳法和演绎法得出周期，解题时根据自己熟悉的方法得出即可．