如图,矩形ABCD中,E是BC的中点,连接AE,过点E作EF⊥AE交DC于点F,连接AF.设=k,下列结论:(1)△ABE∽△ECF,(2)AE平分∠BAF,(3)当k=1时,△ABE∽△ADF,其中结论正确的是A.(1)(2)(3)B.(1)(3)C.(1)(2)D.(2)(3)
网友回答
C
解析分析:(1)由四边形ABCD是矩形,可得∠B=∠C=90°,又由EF⊥AE,利用同角的余角相等,即可求得∠BAE=∠FEC,然后利用有两角对应相等的三角形相似,证得△ABE∽△ECF;(2)由(1),根据相似三角形的对应边成比例,可得,又由E是BC的中点,即可得,继而可求得tan∠BAE=tan∠EAF,即可证得AE平分∠BAF;(3)当k=1时,可得四边形ABCD是正方形,由(1)易求得CF:CD=1:4,继而可求得AB:CD与BE:DF的值,可得△ABE与△ADF不相似.
解答:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°,∵EF⊥AE,∴∠AEB+∠FEC=90°,∴∠BAE=∠FEC,∴△ABE∽△ECF;故(1)正确;(2)∵△ABE∽△ECF,∴,∵E是BC的中点,即BE=EC,∴,在Rt△ABE中,tan∠BAE=,在Rt△AEF中,tan∠EAF=,∴tan∠BAE=tan∠EAF,∴∠BAE=∠EAF,∴AE平分∠BAF;故(2)正确;(3)∵当k=1时,即=1,∴AB=AD,∴四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠D=90°,AB=BC=CD=AD,∵△ABE∽△ECF,∴,∴CF=CD,∴CF=CD,∴AB:AD=1,BE:DF=2:3,∴△ABE与△ADF不相似;故(3)错误.故选C.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的判定与性质以及三角函数的定义.此题难度较大,注意掌握数形结合思想的应用.