如图，△ABC内接于⊙O，∠A所对弧的度数为120°，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交于AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F．以下四个结论：①∠BFE=60°

网友回答

C
解析分析：①由于∠A所对弧的度数为120°，根据圆周角定理可知∠A=60°；在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，即∠FBC+∠FCB=60°，而∠BFE正好是△BFC的外角，即∠BFE=∠FBC+∠FCB=60°，故正确；②若BC=BD，需满足一个条件：∠BCD=∠BDC，且看这两个角的表达式：∠BCD=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA；∠BDC=∠BDA+∠A=60°+∠DBA；联立两式，可得∠DBA=20°；此时∠ABC=40°，而没有任何条件可以说明∠ABC的度数是40°，即可得出本选项错误．③由于F是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，因此F是△ABC的内心，可过F作AB、AC的垂线，通过证构建的直角三角形全等，得出FE=FD的结论，因结论正确；④若BF=2DF，则F是△ABC的重心，即三边中线的交点，而题目给出的条件是F是△ABC的内心，显然两者的结论相矛盾，因此不正确．所以本题正确的结论：①③．

解答：解：∵∠A所对弧的度数为120°，∴∠A=×120°=60°，∵BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴点F是△ABC的内心内心，∠CBD=∠ABC，∠BCE=∠ACB，∴∠BFE=∠CBD+∠BCE=（∠CBA+∠BCA）=（180°-∠A）=60°，故①正确；∵∠BDC=∠A+∠ABC=60°+∠DBA∠BCA=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA若BC=BD成立，则应有∠BDC=∠BCA应有60°+∠DBA=120°-2∠DBA，即∠DBA=20°，此时∠ABC=40°，∴∠BCD=∠BDC=80°，而根据题意，没有条件可以说明∠ABC是40°，故②错误；∵点F是△ABC内心，作FW⊥AC，FS⊥AB则FW=FS，∠FSE=∠FWD=90°∠EFD=∠SFW=120°∴∠SFE=∠WFD，△FSE≌△WFD∴FD=FE，故③正确；由于点F是内心而不是各边中线的交点，故BF=2DF不一定成立，因此④错误．因此本题正确的结论为①③，故选C．

点评：本题考查了三角形的内心、角的平分线的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大．要特别注意的是④中，三角形内心和重心的区别，不要混淆两者的概念．