解答题设函数f（x）满足f（0）=1，且对任意x，y∈R，都有f（xy+1）=f（x）f（y）-f（y）-x+2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若数列{an}满足：an+1=3f（an）-1（n∈N+），且a1=1，求数列{an}的通项；
（Ⅲ）求证：≤（1+）f（n-1）＜2，（n∈N+）
网友回答
解：（Ⅰ）因f（0）=1．
若令x=y=0，得f（1）=f（0）f（0）-f（0）-0+2=2
再令y=0得f（1）=f（x）f（0）-f（0）-x+2，可得f（x）=x+1，x∈R
（Ⅱ）∵f（x）=x+1，∴an+1=3f（an）-1=3（an+1）-1=3an+2，
∴an+1+1=3（an+1），又a1+1=2，∴数列{an+1}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴an+1=2?3n-1，即an=2?3n-1-1
（Ⅲ）∵f（x）=x+1，x∈R，∴T=，n∈N*
≥1+n?
另一方面：因为，
所以
=．
综上可得命题成立．解析分析：（Ⅰ）运用赋值的方法，令x=y=0，求出f（1）=2，再令y=0可得f（x）的解析式；（Ⅱ）运用待定系数法，找出an+1+1与an+1的位数关系，结合等比数列的通项公式，求出数列{an}的通项；（Ⅲ）运用二项式定理，结合不等式的知识与放缩法，从而证出不等式恒成立．点评：数列与不等式相综合是考试的热点，也是难点．第一小问赋值的同进应该注意一个“巧”字，不要出现重复累赘，不得其法；第二小问除待定系数的方法外还可利用利用作差构造新数列的方法，同学们不妨作个尝试；第三小问证明不等式恒成立，在结合二项式定理的同时还要注意式子的适当放缩，从而达到证明的目的．