已知函数f（x）满足，其中a＞0，a≠1．（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；（2）若函数f（x）的定义域为（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求

网友回答

解：（1）令logax=t，则x=a t
所以f（t）=（at-a-t），
∴f（x）=（ax-a-x），
任取x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=[（ax1-a-x1）-（ax2-a-x2）]
=[（ax1-ax2）-（a-x2-a-x1）]
=[（ax1-ax2）（1+a-x2-a-x1）]
当a＞1时，f（x1）-f（x2）＜0，f（x）为R上的增函数；
当0＜a＜1时，f（x1）-f（x2）＜0，f（x）也为R上的增函数；
（2）定义域关于原点对称，f（-x）=（a-x-ax）=-f（x），
所以f（x）为奇函数．
因为函数f（x）的定义域是（-1，1）
所以有-1＜1-m＜1? ①
-1＜1-m2＜1?????? ②
又f（x）是奇函数，所以f（1-m）+f（1-m2）＞0可变为f（1-m）＞f（m2-1）
又f（x）在（-1，1）内是减函数，所以1-m＜m2-1?? ③
由①、②、③得 ．
解析分析：（1）令logax=t，则x=a t得到f（x）=（ax-a-x），任取x1＜x2，计算f（x1）-f（x2），然后根据指数函数的单调性，建立不等关系，化简即可得到f（x1）与f（x2）大小关系，从而得到函数的单调性．（2）根据定义域先建立两个不等关系式，再结合函数的单调性和奇偶性建立关系式，解之即可．

点评：本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用，以及不等式的求解，属于中档题．