在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点B′与点B关于AE对称，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′=AD；②△FCB′为等腰直角三角

网友回答

B
解析分析：①根据轴对称图形的性质，可知△ABF与△AB′F关于AE对称，即得AB′=AD；②连接EB′，根据E为BC的中点和线段垂直平分线的性质，求出∠BB′C为直角三角形；③假设∠ADB′=75°成立，则可计算出∠AB′B=60°，推知△ABB′为等边三角形，B′B=AB=BC，与B′B＜BC矛盾；④根据∠ABB′=∠AB′B，∠AB′D=∠ADB′，结合周角定义，求出∠DB′C的度数．

解答：①∵点B′与点B关于AE对称，∴△ABF与△AB′F关于AE对称，∴AB=AB′，∵AB=AD，∴AB′=AD．故本选项正确；②如图，连接EB′．则BE=B′E=EC，∠FBE=∠FB′E，∠EB′C=∠ECB′．则∠FB′E+∠EB′C=∠FBE+∠ECB′=90°，即△BB′C为直角三角形．∵FE为△BCB′的中位线，∴B′C=2FE，∵△B′EF∽△AB′F，∴=，即==，故FB′=2FE．∴B′C=FB′．∴△FCB′为等腰直角三角形．故本选项正确．③假设∠ADB′=75°成立，则∠AB′D=75°，∠ABB′=∠AB′B=360°-75°-75°-90°=60°，∴△ABB′为等边三角形，故B′B=AB=BC，与B′B＜BC矛盾，故本选项错误．④设∠ABB′=∠AB′B=x度，∠AB′D=∠ADB′=y度，则在四边形ABB′D中，2x+2y+90=360，即x+y=135度．又∵∠FB′C=90°，∴∠DB′C=360°-135°-90°=135°．故本选项正确．故选B．

点评：此题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的性质及反证法等知识，综合性很强，值得关注．