附加题：连续函数f（x）满足：对于任何x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）?f（y）成立，且f（x）不是常数函数．（Ⅰ）求证：对于任意x∈R，都有f（x）＞0；（Ⅱ

网友回答

证明：（I）假设设f（x）＜0，
∵x、y∈R，则f（x+y）＜0
f（x）．f（y）＞0，
与f（x+y）=f（x）．f（y）矛盾，
∴f（x）＞0
（II）对任意x，f（0）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x）=1，即f（-x）==[f（x）]-1
??? 可以推出：f（m）=f（1+1+…+1）=[f（1）]m，m为正整数．
??????????? f（1）=f（++…+）=[f（）]n，f（）=，n为正整数．
? 设x=，m、n为整数．
? f（x）=f（）==[f（x）]x
（III）设x为任意实数，则存在一系列有理数（可能是无穷多个）x1、x2、x3、…
? 使得x=x1+x2+x3+…
∵f（x+y）=f（x）?f（y）
? 所以，f（x）=f（x1+x2+x3+…）=ax1?a^x2?ax3?…=a（x1+x2+x3+…）=ax

解析分析：（I）利用反证法证明，先假设f（x）＜0，然后推出与已知条件矛盾，即可得以证明；（II）首先得出f（0）=1即可得出f（-x）==[f（x）]-1，然后推出f（1）=f（++…+）=[f（）]n，f（）=，再设x=即可得出结论．（III）设x=x1+x2+x3+…，然后根据条件得出f（x）=f（x1+x2+x3+…）=ax1?a^x2?ax3?…=a（x1+x2+x3+…）=ax．

点评：本题考查了函数恒成立问题以及函数的值域，对于有些从正面证明较复杂的问题可以采取反证法，使得问题简单化．