第一行是等差数列0，1，2，3，…，2006，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2007行．
（1）求证：第1行至第2006行各行都构成等差数列．（定义只有两项的数列a1，a2也称等差数列）；
（2）各行的公差组成数列{di}（i=1，2，3，…，2006）．求通项公式di；
（3）各行的第一个数组成数列{aj}（j=1，2，3，…，2006），求通项公式aj；
（4）求2007行的这个数．
网友回答
解：（1）记ai?j表示第i行第j列的项．由已知知第1行是等差数列；a2?（k+1）-a2?k=a1?（k+1）+a1?（k+2）-（a1?k+a1?（k+1））=a1?（k+2）-a1?k=2，
所以第2行数列是等差数列．a3?（k+1）-a3?k=a2?（k+1）+a2?（k+2）-（a2?k+a2?（k+1））=a2?（k+2）-a2?k=4，
所以第3行数列是等差数列．
同理可证，第4，5，…，都是等差数列．
（2）di+1=a（i+1）?（k+1）-a（i+1）?k=ai?（k+1）+ai?（k+2）-ai?k-ai?（k+1）=ai?（k+2）-ai?k=2di，
∴，则{di}是等差数列，di=d1?2i-1=2i-1．
（3）aj+1=aj+aj?2=aj+aj+dj=2aj+2j-1，
∴．
∴数列是等差数列，，
所以．
（4）由（3）aj=（j-1）?2j-2可知a2007=2006?22005．
解析分析：（1）记ai?j表示第i行第j列的项．由已知知第1行是等差数列；推出第2行满足a3?（k+1）-a3?k=4是等差数列，类比推出第1行至第2006行各行都构成等差数列；（2）通过di+1=a（i+1）?（k+1）-a（i+1）?k=2di，即可求出通项公式di；（3）利用aj+1=aj+aj?2=aj+aj+dj=2aj+2j-1，推出数列是等差数列，然后求通项公式aj；（4）利用（3）直接求2007行的这个数．
点评：本题是中档题，考查数列的有关知识，证明数列是等差数列，数列的递推关系式的应用，数列与函数的综合应用，考查计算能力．