设等比数列{an}的首项为a，公比q＞0且q≠1，前n项和为Sn．
（Ⅰ）当a=1时，S1+1，S2+2，S3+1三数成等差数列，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）对任意正整数n，命题甲：Sn，（Sn+1+1），Sn+2三数构成等差数列．?命题乙：Sn+1，（Sn+2+1），Sn+3三数构成等差数列．求证：对于同一个正整数n，命题甲与命题乙不能同时为真命题．
网友回答
解：（Ⅰ）∵数列{an}是首项为a=1，公比q＞0且q≠1的等比数列，
∴，∴S1+1=1+1=2，S2+2=1+q+2=q+3，S3+1=1+q+q2+1=2+q+q2，
又∵S1+1，S2+2，S3+1三数成等差数列，∴2（S2+2）=（S1+1）+（S3+1），∴2（q+3）=2+2+q+q2，化为q2-q-2=0，
解得q=2，或q=-1，
∵q＞0，∴q=2，∴．
所以数列{an}的通项公式为．
（Ⅱ）对任意正整数n，命题甲：Sn，（Sn+1+1），Sn+2三数构成等差数列，?2（Sn+1+1）=Sn+Sn+2?an+2=an+1+2；
对任意正整数n，命题乙：Sn+1，（Sn+2+1），Sn+3三数构成等差数列，?2（Sn+2+1）=Sn+1+Sn+3?an+3=an+2+2
若对于同一个正整数n，命题甲与命题乙同时为真命题，则an+3-an+2=an+2-an+1．
∴，又，
∴q2-2q+1=0，∴q=1与已知q≠1相矛盾．
所以对于同一个正整数n，命题甲与命题乙不能同时为真命题．
解析分析：（Ⅰ）由已知条件S1+1，S2+2，S3+1三数成等差数列，∴2（S2+2）=（S1+1）+（S3+1），再由通项公式及前n项和公式及a=1，可求出q的值．（Ⅱ）先假设对于同一个正整数n，命题甲与命题乙同时为真命题，由此可得出q=1，从而得出矛盾．
点评：本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，熟练掌握以上有关知识是解决问题的关键．