解答题本题满分16分）两个数列{an}，{bn}，满足．★（参考公式）
求证：{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列．
网友回答
证明：∵，∴bn+1=，
∴bn=a1+2a2+3a3+…+nan?①，
bn+1=a1+2a2+3a3+…+nan+（n+1）an+1．②
②减去①可得 bn+1-bn=（n+1）an+1．
两边同时除以n+1可得 bn+1-bn=an+1 ③，
∴bn-bn-1=an? ④．
③减去④可得 an+1 -an=（ ?bn+1 -?bn?）-（?bn -bn-1 ）
=bn+1 +bn+1 -bn-bn-bn+?bn-1-bn-1?
=（bn+1-bn?）+（bn+1-bn?）+?（bn-bn-1）-（bn-bn-1）
=（bn+1-bn?）+（bn+1-bn?）-（bn-bn-1）．
由于{bn}为等差数列的充要条件是 bn+1-bn=bn-bn-1=常数d，
此时an+1 -an=d+-=，是个常数．
故：{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列．解析分析：由条件可得 bn+1-bn=an+1 ，bn-bn-1=an，相减可得 an+1 -an═（bn+1-bn?）+（bn+1-bn?）-（bn-bn-1），由于{bn}为等差数列的充要条件是 bn+1-bn=bn-bn-1=常数d，此时an+1 -an=d+-=，是个常数，从而结论成立．点评：本题主要考查用分析法和综合法证明数学命题，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．