在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点P是直线BC上一点,∠APQ=45°,PQ交直线AB于

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证明：在Rt△ABC中,
由AB=AC,可得∠B=∠ACP=45°,且AB=AC= BC/√2
又,∠APC是△ABP的外角,
∴∠APC = ∠BAP + ∠B （三角形外角度数为不相邻的两内角之和）
同理可得,∠BQP = ∠BAP + ∠APQ
而,∠APQ=∠B=45°
∴∠APC=∠BQP
又,CF//AB
∴∠PFC=∠BQP （内错角相等）
所以有,∠APC = ∠PFC
又由CF//AB,可得 ∠PCF = ∠B = 45°
则有,∠PCF = ∠ACP
∴△APC∽△PFC （两角对应相等,两三角形相似）
∴CF：PC = PC：AC
把 AC= BC/√2代入上式,化简得
BC*CF/PC = (√2)*PC…………………………………………………………（*）
又CF//BE,易证△PCF∽△PBQ
∴BE：CF = PB：PC
根据比例的性质,有
(BE+CF)：CF = (PB+PC)：PC
即,(BE+CF)：CF = BC：PC
∴ BE + CF = BC*CF/PC
结合（*）式,得
BE + CF = (√2)*PC
（证毕）