解答题已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．
网友回答
解：（1）∵双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，
∴双曲线焦点（±c，0）到渐近线的距离为=b=
又∵双曲线离心率e==2
∴c=2a，平方得c2=a2+b2=a2+3=4a2，解得a=1
因此，双曲线的方程为
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由右焦点F2（2，0）设直线l方程：y=k（x-2）
由消去y，得（k2-3）x2-4k2x+4k2+3=0
根据题意知k≠±，由根与系数的关系得：x1+x2=，x1x2=，y1-y2=k（x1-x2）
∴△F1AB的面积S=c|y1-y2|=2|k||x1-x2|=2|k|?=2|k|?=6
两边去分母并且平方整理，得k4+8k2-9=0，解之得k2=1（舍负）
∴k=±1，得直线l的方程为y=±（x-2）解析分析：（1）根据题意，得离心率e==2且b=，结合c2=a2+b2联解得a=1，即得双曲线的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程：y=k（x-2）．由双曲线方程与直线l方程消去y，得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和△F1AB的面积等于6，建立关于k的方程并解出k的值，即得直线l的方程．点评：本题给出双曲线的焦点到渐近线的距离和双曲线的离心率，求双曲线的方程并探索焦点弦截得的三角形面积问题，着重考查了双曲线的标准方程、简单几何性质和直线与双曲线位置关系等知识点，属于中档题．