解答题设函数f（x）=x2-2（-1）klnx（k∈N*）．f′（x）是f（x）的导函

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证明：（1）当k为偶数时，f（x）=x2-2lnx，f′（x）=2x-=，f′（an）=
由已知，得出2（-1）=-3，
∴+1=2（+1），数列{+1}是以2为公比，以=2为首项的等比数列．
∴+1=2?2n-1=2n，=2n-1，
假设数列中存在不同三项构成等差数列，不妨设r＜s＜t，则，即2（2s-1）=2r-1+2t-1，2s+1=2r+2t，2s-r+1=1+2t-r
又s-r+1＞0，t-r＞0，
∴2s-r+1为偶数，1+2t-r为奇数，矛盾．故假设不成立．因此数列中任意不同三项不能构成等差数列．
（2）当k为奇数时，f（x）=x2+2lnx，f′（x）=2x+=2（），即证-2n-1?2（）≥2n（2n-2）
即证-（）≥2n-2．
证法一：由二项式定理，即证+++…≥2n-2
设Sn=+++…，
又Sn=++…++．
两式相加，得出2Sn=++…+
≥2（）=2（2n-2）．
∴Sn≥2n-2．
证法二：数学归纳法
当n=1时，左边=0，右边=0，不等式成立．
设当n=k（k≥1）时成立．即-（）≥2k-2成立，
则当n=k+1时，-（）=-（）
≥[（2k-2）+（）]-（）
=（2k-2）++xk-1+-（）
=（2k-2）+xk-1+
≥（2k-2）?2+2
=2k+1-2
即当n=k+1时不等式成立．
综上所述，对任意正整数n不等式成立．解析分析：（1）当k为偶数时，由已知，得出2（-1）=-3，整理构造得出数列{+1}是以2为公比，以=2为首项的等比数列，求出=2n-1，假设数列中存在不同三项构成等差数列，不妨设r＜s＜t，则①，考察①是否有解，作出解答．（2）当k为奇数时，原不等式化为-2n-1?2（）≥2n（2n-2）．可以利用二项式定理，结合倒序相加法，基本不等式进行证明，或者用数学归纳法证明．点评：本题是函数、数列、不等式的综合．考查数列通项公式求解，不定方程解的讨论，不等式的证明方法．用到了构造转化、基本不等式、数学归纳法等知识方法．运算量较大，是容易出错的地方．