解答题已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点．
网友回答
解：（Ⅰ）∵椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，
点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形，
∴b=2，，
所求椭圆方程为．?…（5分）
（Ⅱ）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，
依题意m≠±2．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由?，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0．…（7分）
则，．
∵，
∴，
即2k+（m-2）?=8．…（10分）
所以k=-，整理得?m=．
故直线AB的方程为y=kx+，即y=k（x+）-2．
所以直线AB过定点（-，-2）．?…（12分）
若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，
设A（x0，y0），B（x0，-y0），
由已知，
得．此时AB方程为x=-，显然过点（-，-2）．
综上，直线AB过定点（-，-2）．…（13分）解析分析：（Ⅰ）由题设条件知b=2，，由此能够求出椭圆方程．（Ⅱ）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．由?，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，由韦达定理结合题设条件能够导出直线AB过定点（-，-2）．若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，由题设条件能够导出直线AB过定点（-，-2）．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．