解答题已知双曲线C：的两个焦点为F1（-2，0），F2（2，0），点在双曲线C上．（1

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解：（1）依题意，由a2+b2=4，
得双曲线方程为（0＜a2＜4），
将点（3，）代入上式，得．
解得a2=18（舍去）或a2=2，
故所求双曲线方程为=1．…（4分）
（2）设M（x，y），
∵点M满足，
∴M为线段PQ的中点，
∵Q?（0，2），
∴P（2x，2y-2），…（6分）
把点P（2x，2y-2）代入双曲线方程为=1，
得动点M的轨迹方程：2x2-2（y-1）2=1．…．（8分）
（3）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，
代入双曲线C的方程并整理，
得（1-k2）x2-4kx-6=0．
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴，
∴k∈（-）∪（1，）．…（10分）
设E（x1，y1），F（x2，y2），
则由①式得x1+x2=，x1x2=-，
于是|EF|=
=
=
=，
而原点O到直线l的距离d=，
∴S△OEF=
=
=．…（13分）
若S△OEF=2，
即，
∴k4-k2-2=0，
解得k=±，
满足②．故满足条件的直线l有两条，
其方程分别为y=和．…（16分）解析分析：（1）依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0＜a2＜4），将点（3，）代入上式，能求出双曲线方程．（2）设M（x，y）由题意M为线段PQ的中点，则P（2x，2y-2），由此能得到动点M的轨迹方程．（3）设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-k2）x2-4kx-6=0．直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，所以，由此能求出满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和．点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．易错点是计算量大，容易出错．