解答题已知各项均为正数的数列an满足（n∈N*），且a1+a2+a3=a4-2．
（Ⅰ）求数列an的通项公式；
（Ⅱ）证明：7?4n+1＞3n+1（n∈N*）
（Ⅲ）若n∈N*，令bn=an2，设数列bn的前n项和为Tn（n∈N*），试比较与的大小．
网友回答
解：（Ⅰ）∵，
an+12=2an2+anan+1，即（an+1+an）（2an-an+1）=0
又an＞0，所以有2an-an+1=0，
∴2an=an+1所以数列{an}为公比为2的等比数列
由a1+a2+a3=a4-2得a1+2a1+4a1=8a1-2，解得a1=2
故数列{an}的通项公式为an=2n（n∈N*）
（Ⅱ）①当n=1时，7?40=7＞3×1+1=4，上面不等式显然成立
②假设当n=k时，不等式7?4k+1＞3k+1成立
当n=k+1时，
7×4k=4×7×4k-1＞4（3k+1）=12k+4＞3k+4=3（k+1）+1
综上①②对任意的n∈N*均有7?4n+1＞3n+1
（Ⅲ）因bn=an2=22n=4n，所以
即数列{bn}是首项为4，公比是4的等比数列
所以，
又
∴-=-
=
所以对任意的n∈N*均有解析分析：（Ⅰ）先整理得2an=an+1，进而得数列{an}公比为2的等比数列；再借助于a1+a2+a3=a4-2求出首项即可求出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）先推得n=1时不等式成立，再假设当n=k时，不等式7?4k+1＞3k+1成立，借助于放缩法即可证明n=k+1时不等式成立，即可证得结论；（Ⅲ）把（Ⅰ）的结论代入整理可得数列{bn}是首项为4，公比是4的等比数列，即可求出Tn（n∈N*），再对与作差整理即可得出结论．点评：本题主要考查数列递推关系式的应用以及数列与不等式的综合问题．本题的第二问涉及到了数学归纳法的证明，应注意其证明过程．