解答题如图，已知二面角α-l-β的平面角为45°，在半平面α内有一个半圆O，其直径AB在l上，M是这个半圆O上任一点（除A、B外），直线AM、BM与另一个半平面β所成的角分别为θ1、θ2．试证明cos2θ1+cos2θ2为定值．
网友回答
证明：过M作MH⊥β，H为垂足，在α内，作MK⊥AB，K为垂足，连接KH，AH，BH，
则∠MAH=θ1，∠MBH=θ2．
∵MH⊥β，AB?β，
∴MH⊥AB．
∵MK∩MH=M，MK?平面MHK，MH?平面MHK，
∴AB⊥平面MHK．
∵HK?平面MHK，
∴AB⊥HK．
∴∠MKH是二面角α-l-β的平面角．
∴∠MKH=45°．
∴．
在Rt△AMB中，
AM2=AK?AB，BM2=BK?AB，MK2=AK?BK，
在Rt△MHA和Rt△MHB中，．
∴sin2θ1+sin2θ2===
==．
∴cos2θ1+cos2θ2=2-（sin2θ1+sin2θ2）=2-=．（定值）．解析分析：过M作MH⊥β，H为垂足，在α内，作MK⊥AB，K为垂足，连接KH，AH，BH，则∠MAH=θ1，∠MBH=θ2．说明∠MKH是二面角α-l-β的平面角．通过AM2=AK?AB，BM2=BK?AB，MK2=AK?BK，在Rt△MHA和Rt△MHB中，表示出sin2θ1+sin2θ2，即可求出所求表达式的值．点评：本题是中档题，考查二面角的有关知识，直角三角形中射影定理的应用，考查空间想象能力，计算能力．