已知函数?y=f?（x）?的定义域为?R，其导数?f′（x）?满足?0＜f′（x）＜1，常数?α?为方程?f?（x）=x的实数根．（1）求证：当?x＞α?时，总有?x

网友回答

（1）证明：令?g（x）=x-f?（x），则?g′（x）=1-f′（x），
∵0＜f′（x）＜1，∴g′（x）=1-f′（x）＞0，
∴函数?g（x）=x-f?（x）为R上的增函数，
∴当?x＞α时?g（x）=x-f?（x）＞g（α）=α-f?（α）=0，
∴当?x＞α时，总有?x＞f?（x）?成立；
（2）证明：∵|x1-α|＜1，|x2-α|＜1，
∴α-1＜x1＜α+1，α-1＜x2＜α+1，
?又?0＜f′（x）＜1，
∴f?（x）?在?R?上是增函数，
∴f?（α-1）＜f?（x1）＜f?（α+1），f?（α-1）＜f?（x2）＜f?（α+1），
∴f?（α-1）-f?（α+1）＜f?（x1）-f?（x2）＜f?（α+1）-f?（α-1），
∴|f?（x1）-f?（x2）|＜f?（α+1）-f?（α-1），
由?（1）知：f?（α+1）＜α+1；-f?（α-1）＜-（α-1），
∴|f?（x1）-f?（x2）|＜f?（α+1）-f?（α-1）＜2，
∴|f?（x1）-f?（x2）|＜2．

解析分析：（1）构造函数g（x）=x-f（x），我们可以利用导数法判断出函数g（x）的单调性，进而得到当x＞a时，总有f（x）＜x成立；（2）由|x1-α|＜1，|x2-α|＜1，可得α-1＜x1＜α+1，α-1＜x2＜α+1，利用f′（x）的范围可判断f?（x）?在?R?上是增函数，根据f（x）的单调性及（1）问的结论即可得证．

点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，其中利用导数法判断函数f（x）的单调性及g（x）=x-f（x）的单调性是解答本题的关键．