设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对定义域内的任意x,y都满足f(xy)=f(x)+f(y),且x>1时,f(x)>0.
(1)写出一个符合要求的函数,并猜想f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)若f(2)=1,解不等式f(x)+f(x-3)≤2.
网友回答
解:(1)y=logax(a>1,x>0),…(2分)f(x)在(0,+∞)上单调递增.…(3分)
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x2<x1
由f(xy)=f(x)+f(y),得f(xy)-f(x)=f(y),令xy=x1,x=x2,则,∵x1>x2>0,∴,∴,∴f(x1)>f(x2),故f(x)在(0,+∞)上单调递增.…(6分)
由f(xy)=f(x)+f(y),令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2f(2)=2…(7分)∴f(x)+f(x-3)≤f(4),即f[x(x-3)]≤f(4),…(8分)
由f(x)在(0,+∞)上单调递增,得,…(10分)?????????????解得,…(11分)
所以不等式的解集为{x|3<x≤4}.…(12分)
解析分析:(1)由已知中定义域内的任意x,y都满足f(xy)=f(x)+f(y),根据对数函数的性质,易得y=logax(a>1,x>0),满足条件;(2)根据f(xy)=f(x)+f(y),我们利用作差法,可以判断出f(x)在(0,+∞)上单调递增,而且求出f(4)=2,则可将不等式f(x)+f(x-3)≤2转化为一个一个关于x的不等式组,解不等式组,即可得到