过点P（4，2）作直线l交x轴于A点、交y轴于B点，且P位于AB两点之间．（Ⅰ），求直线l的方程；（Ⅱ）求当取得最小值时直线l的方程．

网友回答

解：由题意知，直线l的斜率k存在且k≠0，
设l：y=k（x-4）+2，得令y=0，得x=4-，所以A（4-，0），
再令x=0，得y=2-4k，所以B（0，2-4k）…2分
因为点P（4，2）位于A、B两点之间，所以且2-4k＞2，解得k＜0．
∴=（，2），=（-4，-4k）…2分
（Ⅰ）因为，所以，所以．
∴直线l的方程为y=（x-4）+2，整理得x+6y-16=0．…3分
（Ⅱ）因为k＜0，所以，
当即k=-1时，等号成立．
∴当取得最小值时直线l的方程为y=-（x-4）+2，化为一般式：x+y-6=0．…3分．
解析分析：设直线l：y=k（x-4）+2，可求出A（4-，0），B（0，2-4k）．结合P位于A、B之间，建立不关于k的不等式，可得k＜0．（I）由A、B、P的坐标，得出向量和坐标，从而将化为关于k的方程，解出k值即得直线l的方程；（II）由向量数量积的坐标运算公式，得出关于k的表达式，再用基本不等式得到取得最小值时l的斜率k，从而得到直线l的方程．

点评：本题以向量的坐标运算为载体，求直线l的方程．着重考查了直线的方程和向量在几何中的应用等知识，属于中档题．