填空题已知：3Sinβ=Sin（2α+β），则tanβ的最大值是________．

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解析分析：先利用变换角的方法，将已知等式转化为3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，再利用三角变换公式将等式化简得tan（α+β）=2tanα，最后利用两角差的正切公式将tanβ表示为tanα的函数，利用均值定理球最值即可解答：由3sinβ=sin（2α+β）得：3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]?3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα?sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα若cos（α+β）=0，则易得tanβ=0若cos（α+β）≠0，则在等式两边同除以cos（α+β），即∴tan（α+β）=2tanα? （tanα≠0）因为tanβ=tan[（α+β）-α]===显然当tanα＞0时，tanβ取得最大值，∴tanβ=≤==当且仅当tanα=1时取等号综上所述，tanβ的最大值是故