填空题若椭圆（a＞b＞1）内有圆x2+y2=1，该圆的切线与椭圆交于A，B两点，且满足（其中O为坐标原点），则9a2+16b2的最小值是________．
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49解析分析：设切线方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，可得a2（m2-b2k2-b2）+m2b2=0，利用y=kx+m是单位圆的切线，可得m2=k2+1，从而可得a2+b2=a2b2，可得a2＞2，b2==1+，由此可求9a2+16b2的最小值．解答：设切线方程为y=kx+m，代入椭圆方程得关于x的一元二次方程（b2+a2k2）x2-2a2kmx+a2m2-a2b2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=∵∴x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2+km（x1+x2）+m2=0∴（k2+1）a2（m2-b2）-2k2m2a2+m2（a2k2+b2）=0∴a2（m2-b2k2-b2）+m2b2=0（*）因为y=kx+m是单位圆的切线，所以，即m2=k2+1代入（*）式子，得到a2（1-b2）m2+m2b2=0，所以a2+b2=a2b2 由于a＞b，所以a2b2=a2+b2＞2b2，∴a2＞2∵b2==1+代入得9a2+16b2=9a2++16=9（a2-1）++25≥49当且仅当a2-1=时取到最小值 故