a为实数，数列{an}满足a1=a，对于n=1，2，3…，（1）0＜an＜2时，证明0＜an+1＜2；（2）a满足0＜a＜1，求an（n=1，2，3…）；（3）k为自

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（1）证明：当0＜an≤1时，an+1=-an+2，1≤-an+2＜2，∴1≤an+1＜2；
当1＜an＜2时，an+1=an-1，0＜an-1＜1，∴0＜an+1＜1；
∴0＜an＜2时，0＜an+1＜2；
（2）解：0＜a＜1时，a2=-a1+2=-a+2＞1，a3=a2-1=-a+1＜1，a4=-a3+2=a+1＞1，a5=a4-1=a
∴a5=a1，∴数列{an}是以4为周期的数列
∴an=（l∈N+）
（3）解：由（2）知，0＜a＜1时，a5=a1，数列{an}是以4为周期的数列，
若a3=a1，∴1-a=a，∴，2也是周期，而a2，a1范围不同，不可能相等，所以
①0＜a＜1且时，k=4m；
②，k=2m，
而1＜a＜2时，a2=a-1∈（0，1），a3=2-a2=3-a∈（1，2），a4=a3-1=2-a∈（0，1），a5=2-a4=a，同上4为一个周期，时，2也是周期；
③1＜a＜2且a≠时，k=4m
④a=时，k=2m
⑤a=1时，有a2=a1=1，为常数列；
⑥若a≥2时，由题意知，存在k（k≥2），使得数列{an}中前k-1项成公差为-1的递减数列且都大于2，而第k项ak∈（0，2），由（1）知第k项ak后的所有项ak∈（0，2），（n≥k），所以不存在k为自然数，求使a1+k=a1，故此种情形不成立；
⑦若a≤0，则a2≥2，由④可知，自a2起所有项an＞0，所以不存在k为自然数，求使a1+k=a1，故此种情形不成立；
综上，①0＜a＜1且时，k=4m；②，k=2m，③1＜a＜2且a≠时，k=4m，④a=时，k=2m．

解析分析：（1）当0＜an≤1时，an+1=-an+2，可得1≤an+1＜2；当1＜an＜2时，an+1=an-1，可得0＜an+1＜1；（2）0＜a＜1时，a2=-a1+2=-a+2＞1，a3=a2-1=-a+1＜1，a4=-a3+2=a+1＞1，a5=a4-1═a1，由此可得an；（3）由（2）知，0＜a＜1时，a5=a1，数列{an}是以4为周期的数列，若a3=a1，则，2也是周期，而a2，a1范围不同，不可能相等，所以分类讨论，从而可求所有k与a．

点评：本题考查不等式的证明，考查数列的通项，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．