解答题已知数列{xn}满足x1=4，．（Ⅰ）求证：xn＞3；（Ⅱ）求证：xn+1＜xn

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解：
（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明
①当n=1时，x1=4＞3．所以结论成立．
②假设n=k（n≥1）时结论成立，即xn＞3，则．
所以xn+1＞3．
即n=k+1时，结论成立．
由①②可知对任意的正整数n，都有xn＞3．（4分）
（Ⅱ）证明：．
因为xn＞3，所以，即xn+1-xn＜0．
所以xn+1＜xn．（9分）
（Ⅲ）解：，，
所以．
又，
所以．（11分）
又，
令，则数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．
所以an=2n-1．
由，得．
所以．（14分）解析分析：（Ⅰ）结合题设条件，利用数学归纳法进行证明．（Ⅱ）．由xn＞3，知xn+1＜xn．（Ⅲ），，由题题条件能导出an=2n-1．由，得．从而得到．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意数学归纳法的证明过程．