已知函数f（x）=logmx（mm为常数，0＜m＜1），且数列{f（an）}是首项为2，公差为2的等差数列．（1）若bn=an?f（an），当m=时，求数列{bn}的

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解：（1）由题意得f（an）=2+2（n-1）=logman，可得2n=logman，…（1分）
∴an=m2n．…（2分）
bn=an?f（an）=2n?m2n．
∵m=，∴bn=an?f（an）=2n?（）2n=n?（）n-1，…（3分）
∴Sn=1?（）0+2?（）1+3?（）2+…+n?（）n-1，①
Sn=1?（）1+2?（）2+3?（）3+…+n?（）n，②…（4分）
①-②，得Sn=（）0+（）1+（）2+…+（）n-1-n?（）n=…（6分）
∴化简得：Sn=-（n+2）（）n-1+4??…（7分）
（2）解：由（Ⅰ）知，cn=an?lgan=2n?m2nlgm，要使cn＜cn+1对一切n∈N*成立，
即nlgm＜（n+1）m2lgm对一切n∈N*成立．…（8分）
∵0＜m＜1，可得lgm＜0
∴原不等式转化为n＞（n+1）m2，对一切n∈N*成立，
只需m2＜（）min即可，…（10分）
∵h（n）=在正整数范围内是增函数，∴当n=1时，（）min=．…（12分）
∴m2＜，且0＜m＜1，，∴0＜m＜．…（13分）
综上所述，存在实数m∈（0，）满足条件．…（14分）
解析分析：（1）用等差数列求和公式，结合对数的运算性质可得：an=m2n，从而有bn=n?（）n-1，最后用错位相减法结合等比数列的求和公式，得到数列{bn}的前n项和Sn；（2）由题意，不等式cn＜cn+1对一切n∈N*成立，代入an的表达式并化简可得m2＜（）min．通过讨论单调性可得当n=1时，的最小值是，从而得到m2＜，结合0＜m＜1，得到实数m的取值范围是（0，）．

点评：本题以对数运算和数列通项与求和运算为载体，求数列的前n项和并求数列单调递增时参数的取值范围，着重考查了等差、等比数列的通项公式与求和公式，以及不等式恒成立问题的讨论等知识，属于中档题．