解答题已知Sn是数列{}的前n项和，（1）分别计算S2-S1，S4-S2，S8-S4的

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解：
（1）S2-S1=，
S4-S2=，
S8-S4=．（2分）
（2）当n≥1时，=+…+（共2n-1项）
≥×2n-1=，当且仅当n=1时，等号成立．（4分）
（3）由于S1=1，当n≥1时，≥，
于是，要使得ST＞2010，只需＞2009．
将按照第一组21项，第二组22项，，第n组2n项的方式分组（6分）
由（2）可知，每一组的和不小于，且只有n=1时等于，
将这样的分组连续取2×2009组，加上a1，共有24019项，
这24019项之和一定大于1+2009=2010，
故只需T=24019，就能使得ST＞2010；（8分）
（注：只要取出的T不小于24015，并说出相应理由，都给满分）
（4）设这样的f（n）存在，n=2时，
有1=?f（2）=2，n=3时，有=?f（3）=3，
猜测f（n）=n（n≥2）．下面用数学归纳法证明：
①n=2，3时，上面已证，猜测正确；
②设n=k（k≥2）时，f（n）=k即S1+S2++Sn-1=k（Sk-1）成立
则S1+S2++Sn-1+Sk=k（Sk-1）+Sk
=（k+1）Sk-k
=
=（k+1）（Sk+1-1）．
即n=（k+1）时，猜测也正确．
综上所述，存在f（n）=n，使得S1+S2++Sn-1=f（n）（Sn-1）对于大于1的正整数都成立（13分）解析分析：（1）较为简单，代入可计算；（2）由（1）可猜想（2）的结论也是成立的，证明时要适当的放缩每一项（共2n-1项）都缩小为，（3）的解答可由（2）的结论想到：新数列S2-S1，S4-S2，S8-S4…中每一项的值都大于等于，那么4018项的和为2009，于是对于数列{an}中连同a1就有24019项，即a1+＞1+2009=2010．（4）可利用数学归纳法，思路是利用n=1，2时的结论猜想命题成立，然后用归纳法证明即可，关键是如何利用好归纳假设．点评：本题考查了数列前n项和的概念，不等式恒成立问题，数学归纳法的应用，合理猜想与逻辑推理的概念．对不等式的考查有一定的难度，综合性较强，需要同学有深厚的功底才能胜任本题的解答，对数学归纳法的考查较深．