在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA垂直底面abcd,AB=根号三,BC=1PA=2E为PD中点.求直线AC与PB所成角的余弦值.3,在侧面PAB内找出一点N,使NE垂直平面PAC.不好上图百度得到这倒题哪里有图.
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在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA垂直底面abcd,AB=根号三,BC=1PA=2E为PD中点.求直线AC与PB所成角的余弦值.3,在侧面PAB内找出一点N,使NE垂直平面PAC.不好上图百度得到这倒题哪里有图.(图1)
1、取AB中点F,BC中点G,PA中点H,连结FG、FH、HG,
∵FH和FG分别是△PBA和ABC的中位线,
∴FH//PB,
FG//AC,
∴〈HFG和异面直线PB与AC所成角相等,
根据勾股定理,AC=2,PB=√7,
∴FG=AC/2=1,
FH=PB/2=√7/2,
AG=√（AB^2+BG^2)=√13/2,
HG=√（AH^2+AG^2)=√17/2,
根据余弦定理,
cos<HFG=（HF^2+FG^2-HG^2)/(2FH*FG)=-3√7/14,
因直线夹角小于等于90°,
故取锐角,∴直线AC与PB所成角的余弦值为3√7/14.
2、∵PA⊥平面ABCD,
∴平面PAB、平面PAC、平面PAD均垂直底面ABCD,
EN必在平行于平面ABCD,且距离为1的平行平面上,只要求出N在底AB线段的投影N‘位置即可,
画出底面矩形ABCD,连结AC,AD中点E’,作E‘N’⊥AC,交AC于K,AB于N,
RT△AKE‘∽RT△ADC,
AE’*AD=AK*AC,
AE‘=1/2,AC=2,
∴AK=1/4,
E’K=√（1/4-1/16）=√3/4,
AK^2=KE'*N'K,(RT△斜边高是斜边两部分的比例中项）,
N‘K=√3/12,
∴N’E‘=N’K+KE‘=√3/3,
∴AN’=√（N'E'^2-AE'^2)=√3/6,
∴N点距底面距离为1,距PA距离为√3/6.
即在AB上找到AN‘=√3/6,在PAB平面上过N’点作垂线,NN‘,使NN’=1,该N即为所求垂足点.
若学过向量,用向量建空间坐标系来作很容易.