如图△ABC为正三角形，边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，PQ为圆A的任意一条直径．（1）若，求；（2）求的最小值．（3）判断的值是否会随点P的变化而变化，请说明

网友回答

解：（1）∵，∴∴=，
∴
（2）设∠PAB=θ，则∠CAQ=120°-θ
∴==
当时，即时，有最小值-1，
（3）的值不随点P的变化而变化
∵
由（2）知，
∴，
所以∴的值不随点P的变化而变化．
解析分析：（1）选定为基向量，由题设条件知，此两向量的模是2，夹角是，根据题设条件，及向量加法用两个基向量表示出，再求它的模；（2）设∠PAB=θ，则∠CAQ=120°-θ，由数量积公式及向量的三角形法则进行变形，将表示成∠PAB=θ的三角函数，由正弦函数的性质求出最值；（3）由（2）将中两个向量的数量积表示成θ的三角函数，再进行运算，得出=2是一个常数由此得出结论

点评：本题考查向量在几何中的应用，解题的关键是掌握几何中的关系与向量的对应，本题中主要用到了线段的长度与向量的模的对应，本题考查了转化化归的思想，将求向量内积的最值的问题转化为三角函数的最值，根据所研究问题的实际情况恰当的转化研究问题的角度，是数学解题中常用的技巧，本题由有符号运算与数字运算，运算量较大，解题时要认真严谨．