已知数列{an}满足：a1=2，且an+1=2-，n∈N*．
（1）设bn=，求证：{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设cn=an+，求证：2n＜c1+c2+…+cn＜2n+1，n∈N*．
网友回答
解：（1）∵a1=2，且an+1=2-，n∈N*．
∴a2=2-，
，
，
…
猜想．
用数学归纳法进行证明：
①，成立．
②假设n=k时，成立，即，
则当n=k+1时，=2-=，成立．
由①②知，．
∵bn=，
∴bn+1-bn=
=-
=-
=（n+1）-n=1，
∴数列{bn}是等差数列．
（2））∵a1=2，且an+1=2-，n∈N*．
∴a2=2-，
，
，
…
猜想．
用数学归纳法进行证明：
①，成立．
②假设n=k时，成立，即，
则当n=k+1时，=2-=，成立．
由①②知，．
（3）∵cn=an+，，
∴，
∴c1+c2+…+cn=2n+（1-）+（）+…+（）
=2n+1-＜2n+1．
∵c1+c2+…+cn=2n+（1-）+（）+…+（）
=2n+1-=2n+＞2n．
∴2n＜c1+c2+…+cn＜2n+1，n∈N*．
解析分析：（1）由a1=2，且an+1=2-，n∈N*，知．由bn=，知bn+1-bn==-=1，故数列{bn}是等差数列．（2））a1=2，且an+1=2-，n∈N*．知a2=2-，，，…猜想．用数学归纳法进行证明，得到．（3）由cn=an+，，知，故c1+c2+…+cn=2n+（1-）+（）+…+（）=2n+1-2n+，由此知2n＜c1+c2+…+cn＜2n+1，n∈N*．
点评：本题考查等差数列的证明，通项公式的求法和前n项和的证明，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．