已知对于任意的自然数m，n，都有f（n）f（m）=f（n+m）+f（n-m），其中f（0）≠0，f（1）=1，试猜想f（n）=________．（n∈N）

网友回答

解析分析：先设m=n=0得：f2（0）=2f（0），求得f（0）=2，再设m=n，得f（2n）=f（n）f（n）-2，结合题中条件依次求出f（2），f（3），f（4），f（5），f（6），…f（n）的值呈周期性变化，周期为：6，联想到三角函数进行猜想即可．

解答：设m=n=0得：f2（0）=2f（0），其中f（0）≠0，∴f（0）=2，设m=n，得：f（n）f（n）=f（2n）+2，∴f（2n）=f（n）f（n）-2∴f（2）=f2（1）-2=-1f（3）=-2f（4）=f2（2）-2=-1f（5）=1f（6）=f2（3）-2=2，…f（n）的值呈周期性变化，周期为：6，联想到三角函数，故猜想f（n）=．故