已知函数（其中n为常数，n∈N*），将函数fn（x）的最大值记为an，由an构成的数列{an}的前n项和记为Sn．（Ⅰ）求Sn；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，总存在x∈R

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解：（Ⅰ），（2分）
令fn′（x）＞0，则x＜en+1-n．
∴fn（x）在（-n，en+1-n）上递增，在（en+1-n，+∞）上递减．（4分）
∴当x=en+1-n时，（5分）
即，
则．（6分）
（Ⅱ）∵n≥1，∴en+1递增，n（n+1）递增，
∴递减．
∴，
即（8分）
令，则，
∴g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．
当x→0时，；
当x→+∞时，；
又g（1）=1+a，
∴g（x）∈（a，1+a]（10分）
由已知得，（a，1+a]?，
∴（11分）
（Ⅲ）
=
=
=（12分）
令，
∵在[1，+∞）上递减．
∴，
即（13分）
又（14分）
∴
∴（15分）

解析分析：（Ⅰ），令fn′（x）＞0，则x＜en+1-n．所以fn（x）在（-n，en+1-n）上递增，在（en+1-n，+∞）上递减．由此能求出Sn．（Ⅱ）由n≥1，知en+1递增，n（n+1）递增，递减．所以，令，则，故g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．由此入手能够求出a的取值范围．（Ⅲ）作差相减，得，整理为，令，能够推导出．

点评：本题考查导数在函数最值中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意培养运算能力，注意作差法的合理运用．