A，B是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，且OA⊥OB．（1）求A，B两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2）求弦AB中点P的轨迹方程；（3）求△AOB面积的最小值．

网友回答

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），中点P（x0，y0），
（1）k0A=，kOB=，
∵OA⊥OB，
∴x1x2+y1y2=0，
∵y12=2px1，y22=2px2，
∴?+y1y2=0
∴y1y2=-4p2，x1x2=4p2，
（2）设OA：y=kx，代入y2=2px得x=0，x=，
∴A（，），同理以-代k得B（2pk2，-2pk）
∴，消去k求得=（）2+2，即y02=px0-2p2，即中点P轨迹方程为y2=px-2p2．
（3）S△AOB=S△AOM+S△BOM=|OM|（|y1|+|y2|）=p（|y1|+|y2|）≥2p=4p2
当且仅当|y1|=|y2|时，等号成立

解析分析：（1）先设出A，B，中点P的坐标，分别表示出AO，OB的斜率，利用二者垂直判断出二者斜率乘积为-1求得x1x2+y1y2=0把抛物线的方程代入即可求得x1x2和y1y2．（2）设出AO的方程代入抛物线求得x的值，进而表示出A的坐标，同理可表示出B的坐标，进而可表示出x0和y0，消去k即可求得二者的关系式，进而求得AB中点P的轨迹方程；（3）根据S△AOB=S△AOM+S△BOM，表示出△AOB面积，利用基本不等式求得面积的最小值．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是灵活利用韦达定理，直线方程和曲线的方程联立等．