已知椭圆C：=1?（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A，B两点．
（1）当椭圆的半焦距c=1，且a2，b2，c2成等差数列时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，求弦AB的长度；
（3）当椭圆的离心率e满足≤e≤，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆长轴长的取值范围．
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解：（1）∵椭圆的半焦距c=1，且a2，b2，c2成等差数列
∴2b2=a2+c2=a2+1
∵a2-b2=c2=1
∴a2=3，b2=2
∴椭圆的方程为=1；
（2）直线x+y-1=0与椭圆方程=1联立，消去y可得5x2-6x-3=0，∴
∴弦AB的长度为=；
（3）直线x+y-1=0与椭圆方程：=1联立，消去y可得（a2+b2）x2-2a2x+a2-a2b2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=
∵以AB为直径的圆经过坐标原点O，
∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0
∴2x1x2-（x1+x2）+1=0
∴2?-+1=0
∴b2=
∴c2=a2-b2=
∴=
∵椭圆的离心率e满足≤e≤，
∴
∴
∴
∴椭圆长轴长的取值范围为．
解析分析：（1）利用椭圆的半焦距c=1，且a2，b2，c2成等差数列，建立等式，结合a2-b2=c2=1，即可求得椭圆的方程；（2）直线x+y-1=0与椭圆方程=1联立，消去y可得5x2-6x-3=0，再利用弦长公式，即可求得结论；（3）直线x+y-1=0与椭圆方程：=1联立，消去y，利用韦达定理及以AB为直径的圆经过坐标原点O，用a表示出离心率，结合椭圆的离心率e满足≤e≤，即可求得椭圆长轴长的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查椭圆的几何性质，属于中档题．