等差数列{ an}中a3=7.a1+a2+a3=12.记Sn为{an}的前n项和.令bn=

发布时间：2021-02-18 16:46:50

等差数列{ an}中a3=7，a1+a2+a3=12，记Sn为{an}的前n项和，令bn=anan+1，数列{1bn}的前n项和为Tn．
（1）求an和Sn；
（2）求证：Tn＜13；
（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

网友回答

答案:分析：（1）设数列{an}的公差为d，由a3=a1+2d=7，a1+a2+a3=3a1+3d=12，解得a1=1，d=3，由此能求出an和Sn．
（2）由bn=anan+1=（3n-2）（3n+1），知
1
bn
=
1
(3n-2)(3n+1)
=
1
3
(
1
3n-2
-
1
3n+1
)，由此能够证明Tn＜
1
3
．
（3）由（2）知，Tn=
n
3n+1
，故T1=
1
4
，Tm=
m
3m+1
，Tn=
n
3n+1
，由T1，Tm，Tn成等比数列，能够推导出存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列．
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