如何求证二项式系数之和Cn0,Cn1,Cn2,...,Cnn叫做展开式中的二项式系数,有Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnn=2^n成立.如何求证以上公式?
网友回答
定理(1)二项式系数和等于2^n
∵(1+x)^n=Cn0+Cn1x+Cn2x^2+Cn3x^3+…+Cnnx^n
令x=1得 Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2^n
定理2:奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和
∵(1+x)^n=Cn0+Cn1x+Cn2x^2+Cn3x^3+…+Cnnx^n
令x=1得 Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2^n
① 令x=-1得
Cn0-Cn1x+Cn2x^2-Cn3x^3+…+Cnn(-x)^n=0 ②
由②得 Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…
所以奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和
再代入①得 Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2^(n-1)
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
第一个式子是一个性质……真要证明估计要到大学以后了吧……
第二个式子取(x+1)^n
则Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnn为(x+1)^n中令x=1时的值即2^n