已知函数?f（x）=ax2-（2a+1）x+lnx，a∈R，
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）设a＜-1，证明：对任意x1，x2∈（2，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥2|x1-x2|．
网友回答
解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=2ax-（2a+1）+==，
①若a=0，则f′（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
②若0＜a＜，令f′（x）＞0，得0＜x＜1或x＞，令f′（x）＜0，得1＜x＜，
所以f（x）在（0，1），（，+∞）上递增，在（1，）上递减；
③若a=，f′（x）=≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
令f′（x）＞0，得0＜x＜，或x＞1，令f′（x）＜0，得＜x＜1，
所以f（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（，1）上单调递减；
⑤若a＜0，令f′（x）＞0，得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1，
所以f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减；
综上，a=0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上递减；0＜a＜时，f（x）在（0，1），（，+∞）上递增，在（1，）上递减；
a=时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＞时，f（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（，1）上单调递减；
a＜0时，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减；
（Ⅱ）|f（x1）-f（x2）|≥2|x1-x2|，即≥2，所以有|f′（x）|≥2．
所以证明对任意x1，x2∈（2，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥2|x1-x2|，
只需证明|f′（x）|≥2，即证明≥2对任意x∈（2，+∞）成立，也即证明2a≤（x＞2），
令g（x）=（x＞2），则g′（x）=，
当x＞2时，g′（x）＞0，所以g（x）在（2，+∞）上单调递增，g（x）＞g（2）=-，
而a＜-1时，2a＜-2，所以2a＜-＜g（x），即2a≤（x＞2）成立．
故a＜-1时，对任意x1，x2∈（2，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥2|x1-x2|．
解析分析：（Ⅰ）求出函数定义域及导数f′（x）=，分①a=0，②0＜a＜，③a=，④a＞，⑤a＜0五种情况进行讨论解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出不等式即为单调区间；（Ⅱ）证明不等式|f（x1）-f（x2）|≥2|x1-x2|，即≥2，可证明|f′（x）|≥2，利用导数可转化为函数的最值问题证明；
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的最值问题，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，属难题．