设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban-2n=（b-1）Sn（Ⅰ）证明：当b=2时，{an-n?2n-1}是等比数列；（Ⅱ）求{an}的通项公式．

网友回答

解：由题意知a1=2，且ban-2n=（b-1）Snban+1-2n+1=（b-1）Sn+1
两式相减得b（an+1-an）-2n=（b-1）an+1
即an+1=ban+2n①
（Ⅰ）当b=2时，由①知an+1=2an+2n
于是an+1-（n+1）?2n=2an+2n-（n+1）?2n=2（an-n?2n-1）
又a1-1?20=1≠0，所以{an-n?2n-1}是首项为1，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知an-n?2n-1=2n-1，即an=（n+1）2n-1
当b≠2时，由①得==
因此=
即
所以

解析分析：（Ⅰ）当b=2时，由题设条件知an+1=2an+2n．由此可知an+1-（n+1）?2n=2an+2n-（n+1）?2n=2（an-n?2n-1），所以{an-n?2n-1}是首项为1，公比为2的等比数列．（Ⅱ）当b=2时，由题设条件知an=（n+1）2n-1；当b≠2时，由题意得=，由此能够导出{an}的通项公式．

点评：此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的通项公式，同时考查分类讨论思想；推移脚标两式相减是解决含有Sn的递推公式的重要手段，使其转化为不含Sn的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式是重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键．