已知，正方形ABCD中，△BEF为等腰直角三角形，且BF为底，取DF的中点G，连接EG、CG．（1）如图1，若△BEF的底边BF在BC上，猜想EG和CG的数量关系为_

网友回答

解：（1）GC=EG，（1分）理由如下：
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=90°，又G为斜边DF的中点，
∴EG=DF，
∵ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，又G为斜边DF的中点，
∴CG=DF，
∴GC=EG；

（2）成立．
如图，延长EG交CD于M，
∵∠BEF=∠FEC=∠BCD=90°，
∴EF∥CD，
∴∠EFG=∠MDG，
又∠EGF=∠DGM，DG=FG，
∴△GEF≌△GMD，
∴EG=MG，即G为EM的中点．
∴CG为直角△ECM的斜边上的中线，
∴CG=GE=EM；

（3）成立．
取BF的中点H，连接EH，GH，取BD的中点O，连接OG，OC．
∵CB=CD，∠DCB=90°，∴．
∵DG=GF，
∴GH∥BD，且GH=BD，
OG∥BF，且OG=BF，
∴CO=GH．∵△BEF为等腰直角三角形．
∴．∴EH=OG．
∵四边形OBHG为平行四边形，
∴∠BOG=∠BHG．∵∠BOC=∠BHE=90°．
∴∠GOC=∠EHG．
∴△GOC≌△EHG．
∴EG=GC．

解析分析：（1）EG=CG，理由为：根据三角形BEF为等腰直角三角形，得到∠DEF为直角，又G为DF中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得到EG为DF的一半，同理在直角三角形DCF中，得到CG也等于DF的一半，利用等量代换得证；（2）成立．理由为：延长EG交CD于M，如图所示，根据“ASA”得到三角形EFG与三角形GDM全等，由全等三角形的对应边相等得到EG与MG相等，即G为EM中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG与CG相等都等于斜边EM的一半，得证；（3）成立．理由为：取BF的中点H，连接EH，GH，取BD的中点O，连接OG，OC，如图所示，因为直角三角形DCB中，O为斜边BD的中点，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到OC等于BD的一半，由HG为三角形DBF的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，得到GH等于BD一半，OG等于BF的一半，又根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EH等于BF的一半，根据等量代换得到OG与EH相等，再根据OBHG为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边相等，对角相等，进而得到∠GOC与∠EHG相等，利用“SAS”得到△GOC与△EHG全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．

点评：此题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质．要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半．掌握这些性质，熟练运用全等知识是解本题的关键．