解答题如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1

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解法一：（1）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1．又D1F?面DC1，∴AD⊥D1F．（2）取AB中点G，连接A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∴∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．（3）由（1）知AD⊥D1F，由（2）知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED．又因为D1F?面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1．（4）连接GE，GD1．∵FG∥A1D1，∴FG∥面A1ED1，∵AA1=2，∴面积S△A1GE=SABB1A1-2S△A1AG-S△GBE=又=∴解法二：利用用向量求解解：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A1（2，0，2），D1（0，0，2），（1）∵，，得，∴AD⊥D1F；（2）又，得=∴AE与D1F所成的角为90°（3）由题意：，设平面AED的法向量为，设平面A1FD1的法向量为，由由得=∴面AED⊥面A1FD1．（4）∵AA1=2，，平面A1FD1的法向量为=，∴E到平面A1FD1的距离=，∴．解析分析：解法一：传统证法．（1）利用线面垂直，证明线线垂直；（2）设A1G与AE相交于点H，先证∠AHA1是AE与D1F所成的角，再求直线AE与D1F所成角；（3）利用线面垂直，证明面面垂直；（4）利用转换底面的方法，求三棱锥的体积；解法二：向量证法．设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A1（2，0，2），D1（0，0，2），（1）利用，可证AD⊥D1F；（2）求得=，可求AE与D1F所成的角；（3）由题意：，设平面AED的法向量为，设平面A1FD1的法向量为，证明平面的法向量垂直，即可证明面AED⊥面A1FD1．（4）先求得=，计算E到平面A1FD1的距离=，即可求三棱锥的体积．点评：本题重点考查线面垂直、面面垂直，考查三棱锥的体积，两法并用，注意比较，细细体会．