填空题三次函数f（x）=x3-3bx+3b在[1，2]内恒为正值，则b的取值范围是__

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解析分析：方法1：拆分函数f（x），根据直线的斜率观察可知在[1，2]范围内，直线y2与y1=x3相切的斜率是3b的最大值，求出b的取值范围方法2：利用函数导数判断函数的单调性，再对b进行讨论，比较是否与已知条件相符，若不符则舍掉，最后求出b的范围解答：方法1：可以看作y1=x3，y2=3b（x-1），且y2＜y1x3的图象和x2类似，只是在一，三象限，由于[1，2]，讨论第一象限即可 直线y2过（1，0）点，斜率为3b．观察可知在[1，2]范围内，直线y2与y1=x3相切的斜率是3b的最大值． 对y1求导得相切的斜率3（x2），相切的话3b=3（x2），b的最大值为x2． 相切即是有交点，y1=y2 3x2（x-1）=x3 x=1.5 则b的最大值为x2=9/4，那么b＜9/4．方法2：f（x）=x^3-3bx+3bf'（x）=3x^-3b b≤0时，f（x）在R上单调增，只需f（1）=1＞0，显然成立；b＞0时，令f'（x）=0??? x=±√b---＞f（x）在[√b，+∞）上单调增，在[-√b，√b]上单调减；如果√b≤1即b≤1，只需f（1）=1＞0，显然成立；如果√b≥2即b≥4，只需f（2）=8-3b＞0---＞b＜8/3，矛盾舍去；如果1＜√b＜2即1＜b＜4，必须f（√b）=b√b-3b√b+3b＞0-b（2√b-3）＞0√b＜3/2b＜9/4，即：1＜b＜9/4综上：b＜9/4点评：考查学生的解题思维，万变不离其宗，只要会了函数的求导就不难解该题了．