已知函数f（x）=．（1）已知f（α）=3，且α∈（0，π），求α的值；（2）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调递增区间；（3）若对任意的x∈，不等式f（x）＞

网友回答

解：（1）由于函数f（x）==sin2x+cos2x+2=2sin（2x+）+2，
∵f（α）=3，且α∈（0，π），∴2sin（2α+）+2=3，解得 sin（2α+）=．
故有 2α+=2kπ+，或 2α+=2kπ+，k∈z．
∴α=．
（2）由 2kπ-≤2α+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤α≤kπ+，
故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-≤α≤kπ+]，k∈z．
再由 x∈[0，π]，可得函数f（x）的单调递增区间为[0 ]、[?π]．
（3）对任意的x∈，≤2x+≤，-≤sin（2x+）≤，1≤f（x）≤2+．
要使f（x）＞m-3恒成立，只要函数f（x）的最小值大于m-3，故有1＞m-3，m＜4，
故实数m的取值范围为（-∞，4）．
解析分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x+）+2，再由f（α）=3，且α∈（0，π），求得α的值．（2）由 2kπ-≤2α+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的单调增区间．再根据x∈[0，π]，可得函数f（x）的具体的单调递增区间．（3）由x∈，可得≤2x+≤，从而求得函数的值域．要使f（x）＞m-3恒成立，只要函数f（x）的最小值大于m-3，故有1＞m-3，由此求得实数m的取值范围．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的单调区间，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．