已知奇函数f（x）=ax3+bx2+cx+d满足：f'（1）=0，．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂

网友回答

（Ⅰ）解：因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），所以b=d=0，
所以f（x）=ax3+cx，求导函数，可得f′（x）=3ax2+c
由f'（1）=0，得3a+c=0，由，得
解之得：
从而，函数解析式为：
（Ⅱ）证明：由于f'（x）=x2-1，设任意两数x1，x2∈[-1，1]是函数f（x）图象上两点的横坐标，则这两点的切线的斜率分别是：
又因为-1≤x1≤1，-1≤x2≤1，所以k1≤0，k2≤0，得：k1k2≥0，知k1k2≠-1
故当x∈[-1，1]时，函数f（x）图象上任意两点的切线不可能垂直
（Ⅲ）解：|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，等价于|f（x）|max-|f（x）|min≤m
由于-2≤2sinα≤2，-2≤2sinβ≤2，∴只需求出在[-2，2]上的最值
而f'（x）=x2-1，由f'（x）=0解得x=±1
列表如下：
x-2（-2，-1）-1（-1，1）1（1，2）2f'（x）+0-0+f（x）递增递减递增∴，
∴，
∴m的最小值为．

解析分析：（Ⅰ）根据f（x）为奇函数，可得b=d=0，求导函数，利用f'（1）=0，，即可求得函数解析式；（Ⅱ）设任意两数x1，x2∈[-1，1]是函数f（x）图象上两点的横坐标，求出这两点的切线的斜率，证明斜率之积k1k2≠-1即可；（Ⅲ）|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，等价于|f（x）|max-|f（x）|min≤m，由于-2≤2sinα≤2，-2≤2sinβ≤2，只需求出在[-2，2]上的最值，即可求得m的最小值．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，解题的关键是将|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，转化为|f（x）|max-|f（x）|min≤m．