在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，则下列结论中：①DE⊥EC，②AD?BC=BE?DE，③CE2=

网友回答

B
解析分析：①运用角平分线的性质及平行线的性质，易得到∠ADC+∠BCD=90°．再通过三角形的内角和为180°，求得∠CED=90°，问题得证．②首先假设AD?BC=BE?DE成立．利用直角三角形中一条直角边所对的角对应相等，证得△BCE∽△AED，再运用相似三角形的性质证得AD?CE=BE?DE．从而得到BC=CE．与直角三角形的斜边大于一条直角边矛盾．③在△BCE与△ECD中，利用相似三角形的判定与性质，证得CE2=BC?CD．④利用相似三角形的性质证得AE≠BE，使问题得证．⑤过E作EF⊥CD与点F．通过角边角定理证得Rt△BCE≌Rt△FCE，Rt△AED≌Rt△FED．再利用全等三角形的性质证得BC=FC，AD=FD．问题得解．

解答：解：①∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD∴∠ADE=∠CDE=∠ADC，∠BCE=∠DCE=∠BCD，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠ADE+∠BCE=（∠ADC+∠BCD）=×180°=90°，在△CDE中，∠CED=180°-（∠ADC+∠BCD）=90°∴DE⊥EC；故该项成立．②假设AD?BC=BE?DE成立．由①知，∠CED=90°∴∠AED+∠BEC=180°-∠CED=180°-90°=90°，在Rt△BCE中，∠BCE+∠BEC=90°，∴∠AED=∠BCE∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=90°，∴△BCE∽△AED，∴，即AD?CE=BE?DE，∴BC=CE，∵直角三角形的斜边＞它的直角边∴AD?BC=BE?DE不成立．故该项不成立．③∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠ECD，由①知，∠CED=90°=∠B，∴△BCE∽△ECD，∴，即CE2=BC?CD，故该项成立．④由②知，△BCE∽△AED，∴，即AE?BE=AD?BC，显然AE≠BE，故该选项不成立．⑤过E作EF⊥CD与点F，∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD∴∠ADE=∠CDE，∠BCE=∠DCE，∴Rt△BCE≌Rt△FCE，Rt△AED≌Rt△FED，∴BC=FC，AD=FD，又∵CF+FD=BC，∴AD+BC=DC，故该选项正确．综上所述，正确的有①③⑤三个．故选B．

点评：本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．解决本题的关键是熟练掌握三角形全等、相似的三角形判定定理、性质定理，做到灵活运用．