如图，△ABC和△A1AC是正三角形，平面A1AC⊥底面ABC，A1B1⊥∥AB，A1B1=AB=2，
（I）求直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值大小；
（II）已知点D是A1B1的中点，在平面ABCD内搁一点E，使DE⊥平面AB1C，求点E到AC和B的距离．
网友回答
解：∵平面A1AC⊥底面ABC，作A1O⊥AC于点O，
∴A1O⊥底面ABC．
又A1B1=AB=2，△ABC和△A1AC是正三角形，知∠ABC=∠A1AC=60°，
∴AO=1，，BO⊥AC（2分）
故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，-1，0），，，C（0，1，0），．
由，可得．
∴，
设平面AB1C的法向量为，则，
解得
由
而AA1与平面AB1C所成角，即向量与平面AB1C的法向量所成锐角的余角，
所以直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为；
（Ⅱ）连接A1B，取AC中点O，连接A1O、BO，
易得A1O⊥AC，所以AC⊥平面A1OB，AC⊥A1B，又四边形AA1B1B是正方形，所以AB1⊥A1B，
又A1B⊥AC，∴A1B⊥平面AB1C，过D作DF∥A1B，
很明显DF交AB于E，此时点E到AC和B的距离分别是1、．
解析分析：（1）由题意及图形，有已知的面面垂直得到空间中从同一定点出发的三条两两垂直的直线进而建立空间直角坐标系，在利用空间向量知识求出线面角；（2）由题意及图形利用线面平行的性质进和在三角形中进而求解．
点评：（1）此问重点考查了利用空间向量的知识求解线面角的三角函数值；（2）此问重点考查了直线与平面平行求解点到线的距离，还考查了在三角形中求解两点间的距离．